Регистрация
Регистрация Поиск Пользователи Все разделы прочитаны  
Важные объявления
Старый 26.07.2008, 12:54     TS Старый   #1 (permalink)
Аксакал
 
Аватар для z_poker
 
Регистрация: 20.04.2007
Адрес: Харьков
Сообщений: 2,246
Парадокс Бертрана

заключается в том, что ответ на вопрос о вероятности казалось бы одного и того же события зависит от того, какую величину мы считаем распределённой равномерно.

Задача формулируется следующим образом. Для некоторой окружности случайным образом выбирается хорда. Необходимо найти вероятность того, что эта хорда длиннее стороны правильного треугольника, вписанного в окружность.

Бертран предложил три метода решения, каждый из которых даёт разный ответ.


Можно, исходя из соображений симметрии, принять, что одним концом хорды является фиксированная точка на окружности, и построить вписанный равносторонний треугольник с одной из вершин в данной точке. Длиннее его стороны лишь те хорды, что находятся внутри его угла (рисунок a). Предполагая, что угол, под которым хорда пересекает окружность, равномерно распределён, мы получим, что вероятность равна 1/3.

Другой вариант (рисунок b) – выбрать произвольный радиус. По соображениям симметрии, радиусы, перпендикулярные любой хорде, все равноправны, так что можно ограничиться одним и рассматривать лишь перпендикулярные ему хорды. Если точка пересечения хорды с радиусом лежит во внутренней половине последнего, то хорда меньше стороны вписанного равностороннего треугольника, если во внешней – то больше. Предполагая, что положение этой точки распределено равномерно, получаем, что вероятность равна 1/2.

Наконец (рисунок c), можно заметить, что каждая точка единственным образом определяет хорду, серединой которой она является. Такая хорда будет больше стороны вписанного равностороннего треугольника, если лежит в круге радиусом вполовину исходного, и меньше – если лежит в кольце между двумя окружностями. Предполагая, что распределение точки в круге равномерно, получаем, что вероятность равна отношению площадей меньшего и большего круга – то есть, 1/4.

Название: bertrand300.jpg
Просмотров: 1068

Размер: 10.4 Кб
z_poker вне форума      
Старый 26.07.2008, 19:41   #2 (permalink)
Старожил
 
Аватар для slimy
 
Регистрация: 04.03.2008
Адрес: Edge of the Earth
Сообщений: 763
Парадокс 8O
__________________
Просто ускоряй свой шаг, твой успех неоспорим,
Ну и кто бы сомневался, ты всегда номер один...
slimy вне форума      
Старый 26.07.2008, 19:54   #3 (permalink)
Бессмертный
 
Аватар для Fedoskin
 
Регистрация: 18.10.2007
Сообщений: 4,626
Золотой кубок 
Ты кто по профессии?
__________________

Fedoskin вне форума      
Старый 26.07.2008, 20:17   #4 (permalink)
Аксакал
 
Аватар для HaemHuk
 
Регистрация: 17.03.2007
Адрес: Москва
Сообщений: 2,187
Серебряный кубок Золотой кубок Серебряный кубок Серебряный кубок 
Отправить сообщение для HaemHuk с помощью ICQ
Не вижу никакого парадокса ввиду того, что методы "a" и "b" некорректны. Очевидно, что густота точек (определяющих хорды) на окружности будет меняться при неизменной величине углов между хордами(случай "а") и интервалами между ними ("b") , что не даёт нам права считать вероятности по равномерному распределению.
На счёт корректности "с" мне сложно что-то сказать. В любом случае для такой задачи случайная хорда должна определяться двумя случайными точками на окружности и больше ничем.
__________________
And in the end, the love you take
is equal to the love you make (c)
HaemHuk вне форума      
Старый 26.07.2008, 21:17     TS Старый   #5 (permalink)
Аксакал
 
Аватар для z_poker
 
Регистрация: 20.04.2007
Адрес: Харьков
Сообщений: 2,246
Хе ну не совсем парадокс


Цитата:
Сообщение от Fedoskin писал сб, 26 июля 2008 19:54
Ты кто по профессии?
ты не поверишь
z_poker вне форума      
Старый 26.07.2008, 21:26   #6 (permalink)
Бессмертный
 
Аватар для Dustangel
 
Регистрация: 01.05.2006
Адрес: Москва
Сообщений: 3,775
Отправить сообщение для Dustangel с помощью ICQ Отправить сообщение для Dustangel с помощью Yahoo
Я не вижу никакого парадокса с учетом того, что исходная формулировка является неполной, и, дополняя ее произвольным образом, мы получаем на самом деле различные задачи с различными ответами на них.
__________________
Наша война - это работа, в первую очередь работа интеллекта, где эмоциям нет места, потому что они могут исказить решение задачи и оказаться в конечном счете гибельными.
Dustangel вне форума      
Старый 26.07.2008, 22:11   #7 (permalink)
Старожил
 
Аватар для slimy
 
Регистрация: 04.03.2008
Адрес: Edge of the Earth
Сообщений: 763
Цитата:
Сообщение от HaemHuk писал сб, 26 июля 2008 20:17
Не вижу никакого парадокса виду того, что методы "a" и "b" некорректны. Очевидно, что густота точек (определяющих хорды) на окружности будет меняться при неизменной величине углов между хордами(случай "а") и интервалами между ними ("b") , что не даёт нам права считать вероятности по равномерному распределению.
На счёт корректности "с" мне сложно что-то сказать. В любом случае для такой задачи случайная хорда должна определяться двумя случайными точками на окружности и больше ничем.
После этого поста чувствую себя ничего не знающим, да и вообще неполноценным человеком....
__________________
Просто ускоряй свой шаг, твой успех неоспорим,
Ну и кто бы сомневался, ты всегда номер один...
slimy вне форума      
Старый 26.07.2008, 22:29   #8 (permalink)
Бессмертный
 
Аватар для Grey
 
Регистрация: 30.04.2004
Сообщений: 3,612
Цитата:
Сообщение от HaemHuk писал
Не вижу никакого парадокса виду того, что методы "a" и "b" некорректны. Очевидно, что густота точек (определяющих хорды) на окружности будет меняться при неизменной величине углов между хордами(случай "а") и интервалами между ними ("b") , что не даёт нам права считать вероятности по равномерному распределению.
А кто сказал, что распределение должно быть равномерным? В условии сказано:
"Случайным образом выбирается хорда" но эта фраза не является строгой математической формулировкой, потому и появляется неоднозначность. Да и вообще, что можно считать "равномерным распределением" в этом случае, тоже непонятно.

Цитата:
Сообщение от Цитата:
На счёт корректности "с" мне сложно что-то сказать. В любом случае для такой задачи случайная хорда должна определяться двумя случайными точками на окружности и больше ничем.
тоже 1/3, хотя распределение явно другое, чем в случае "a".
__________________
Arthur Grey
Grey вне форума      
Старый 26.07.2008, 23:37   #9 (permalink)
Аксакал
 
Аватар для HaemHuk
 
Регистрация: 17.03.2007
Адрес: Москва
Сообщений: 2,187
Серебряный кубок Золотой кубок Серебряный кубок Серебряный кубок 
Отправить сообщение для HaemHuk с помощью ICQ
slimy, тут как бы всё просто. Просто сформулировал так, что сам еле понял)

Цитата:
Сообщение от Grey писал сб, 26 июля 2008 22:29
А кто сказал, что распределение должно быть равномерным? В условии сказано...
Согласен

Цитата:
Сообщение от Цитата:
Цитата:
Сообщение от Цитата:
На счёт корректности "с" мне сложно что-то сказать. В любом случае для такой задачи случайная хорда должна определяться двумя случайными точками на окружности и больше ничем.
тоже 1/3, хотя распределение явно другое, чем в случае "a".
что-то не понял про 1/3... :?
кстати в "с" тоже корректность отсутствует. Интересно узнать реальный ответ на задачу.
__________________
And in the end, the love you take
is equal to the love you make (c)
HaemHuk вне форума      
Старый 27.07.2008, 00:37   #10 (permalink)
TTR
Заблокирован
 
Регистрация: 01.01.2006
Адрес: Санкт-Петербург
Сообщений: 3,954
Отправить сообщение для TTR с помощью ICQ
у меня живет дома хордовое животное :o
TTR вне форума      
Старый 27.07.2008, 02:19   #11 (permalink)
Аксакал
 
Аватар для HaemHuk
 
Регистрация: 17.03.2007
Адрес: Москва
Сообщений: 2,187
Серебряный кубок Золотой кубок Серебряный кубок Серебряный кубок 
Отправить сообщение для HaemHuk с помощью ICQ
Цитата:
Сообщение от TTR писал вс, 27 июля 2008 00:37
у меня живет дома хордовое животное :o
ты сам - хордовое животное, если не знал
__________________
And in the end, the love you take
is equal to the love you make (c)
HaemHuk вне форума      
Старый 27.07.2008, 02:24   #12 (permalink)
Старожил
 
Регистрация: 25.05.2006
Сообщений: 805
Вариант с двумя случайными точками на окружности совпадает с решением а).
Первую точку фиксируем, а длина дуги и угол с касательной отличаются ровно в 2 раза.

ЗЫ: у ТТР дома живет хордовое животное, при этом ТТР живет дома один. парадокс? :o
__________________
Нужно уметь проигрывать. К этой мысли следует постепенно приучать всех своих противников.
SunnyRay вне форума      
Старый 27.07.2008, 09:36   #13 (permalink)
Аксакал
 
Регистрация: 30.04.2008
Адрес: новосибирск
Сообщений: 1,666
Цитата:
Сообщение от Dustangel писал сб, 26 июля 2008 21:26
Я не вижу никакого парадокса с учетом того, что исходная формулировка является неполной, и, дополняя ее произвольным образом, мы получаем на самом деле различные задачи с различными ответами на них.
Согласен. Типичные проблемы неоднозначности решения, когда неявной форме присутствует неоднозначность постановки задачи.
фараон вне форума      
Старый 27.07.2008, 10:09   #14 (permalink)
Бессмертный
 
Аватар для Grey
 
Регистрация: 30.04.2004
Сообщений: 3,612
Цитата:
Сообщение от SunnyRay писал
Вариант с двумя случайными точками на окружности совпадает с решением а).
Ответ совпадает, распределение отличается.
__________________
Arthur Grey
Grey вне форума      
Старый 27.07.2008, 11:05   #15 (permalink)
Консультант
 
Аватар для Итар-Тасс
 
Регистрация: 10.08.2004
Адрес: Москва
Сообщений: 2,487
Отправить сообщение для Итар-Тасс с помощью ICQ Отправить сообщение для Итар-Тасс с помощью Skype™
Цитата:
Сообщение от slimy писал сб, 26 июля 2008 22:11
Цитата:
Сообщение от HaemHuk писал сб, 26 июля 2008 20:17
Не вижу никакого парадокса виду того, что методы "a" и "b" некорректны. Очевидно, что густота точек (определяющих хорды) на окружности будет меняться при неизменной величине углов между хордами(случай "а") и интервалами между ними ("b") , что не даёт нам права считать вероятности по равномерному распределению.
На счёт корректности "с" мне сложно что-то сказать. В любом случае для такой задачи случайная хорда должна определяться двумя случайными точками на окружности и больше ничем.
После этого поста чувствую себя ничего не знающим, да и вообще неполноценным человеком....
Только не вешайся!!!!
Я тебя прошу!
там исходник несколько не так звучит-хотя автору ркспект.
Могу опубликовать текст на английском-хотя это вроде форум о покере-я ничего не перепутал?
__________________
Ставьте на красное,ставьте на черное,все равно выпадет зеро!(\"Блеф\")
Итар-Тасс вне форума      
Старый 27.07.2008, 11:42   #16 (permalink)
Бессмертный
 
Аватар для Grey
 
Регистрация: 30.04.2004
Сообщений: 3,612
Цитата:
Сообщение от Итар-Тасс писал
Цитата:
Сообщение от slimy писал
После этого поста чувствую себя ничего не знающим, да и вообще неполноценным человеком....
Только не вешайся!!!!
Я тебя прошу!
там исходник несколько не так звучит-хотя автору ркспект.
Могу опубликовать текст на английском-хотя это вроде форум о покере-я ничего не перепутал?
А если он еще и английского не знает, вообще в депрессию впадет. Лучше не надо.
__________________
Arthur Grey
Grey вне форума      
Старый 27.07.2008, 18:04   #17 (permalink)
Старожил
 
Регистрация: 25.05.2006
Сообщений: 805
Цитата:
Сообщение от Grey писал вс, 27 июля 2008 10:09
Цитата:
Сообщение от SunnyRay писал
Вариант с двумя случайными точками на окружности совпадает с решением а).
Ответ совпадает, распределение отличается.
Да не отличается, вроде.
Первую точку фиксируем в обоих вариантах.
Вторая "случайная точка на окружности" означает, что ориентированная длина дуги между точками равномерно распределена от 0 до 2*Пи.
Ориентированный угол между касательной в первой точке и хордой, о котором идет речь в решении а, равен половине этой длины дуги.
По сути распределения совпадают.

Итар-Тасс, форум о покере несколькими разделами выше, а тут форум о политике, сексе и математике
__________________
Нужно уметь проигрывать. К этой мысли следует постепенно приучать всех своих противников.
SunnyRay вне форума      
Старый 27.07.2008, 18:53   #18 (permalink)
Бессмертный
 
Аватар для Grey
 
Регистрация: 30.04.2004
Сообщений: 3,612
Цитата:
Сообщение от SunnyRay писал
Да не отличается, вроде.
Ты прав, не отличается. Я ошибся.
__________________
Arthur Grey
Grey вне форума      
Старый 27.07.2008, 19:41   #19 (permalink)
Консультант
 
Аватар для Итар-Тасс
 
Регистрация: 10.08.2004
Адрес: Москва
Сообщений: 2,487
Отправить сообщение для Итар-Тасс с помощью ICQ Отправить сообщение для Итар-Тасс с помощью Skype™
[quote title=SunnyRay писал вс, 27 июля 2008 18:04][quote title=Grey писал вс, 27 июля 2008 10:09]
Цитата:
Сообщение от SunnyRay писал
ит

Итар-Тасс, форум о покере несколькими разделами выше, а тут форум о политике, сексе и математике
клево
__________________
Ставьте на красное,ставьте на черное,все равно выпадет зеро!(\"Блеф\")
Итар-Тасс вне форума      
Старый 28.07.2008, 03:04   #20 (permalink)
Старожил
 
Аватар для slimy
 
Регистрация: 04.03.2008
Адрес: Edge of the Earth
Сообщений: 763
Цитата:
Сообщение от Grey писал вс, 27 июля 2008 11:42
Цитата:
Сообщение от Итар-Тасс писал
Цитата:
Сообщение от slimy писал
После этого поста чувствую себя ничего не знающим, да и вообще неполноценным человеком....
Только не вешайся!!!!
Я тебя прошу!
там исходник несколько не так звучит-хотя автору ркспект.
Могу опубликовать текст на английском-хотя это вроде форум о покере-я ничего не перепутал?
А если он еще и английского не знает, вообще в депрессию впадет. Лучше не надо.
Английский слава Богу знаю неплохо, а то бы давно уже...
__________________
Просто ускоряй свой шаг, твой успех неоспорим,
Ну и кто бы сомневался, ты всегда номер один...
slimy вне форума      

Похожие темы
Тема Автор Раздел Ответов Последнее сообщение
парадокс теории вероятности vik_ Безлимитный холдем микро бай-инов 13 09.12.2010 10:47
Парадокс двух конвертов (или простая задачка на EV) amokkkkk Теории, стратегии, основы покера 20 09.09.2009 12:36
парадокс 4eckist Теории, стратегии, основы покера 17 08.02.2008 21:34
Парадокс Монти Холла EugeniyK Игра вообще 2 14.12.2006 21:20


Опции темы

Ваши права в разделе
Вы не можете создавать новые темы
Вы не можете отвечать в темах
Вы не можете прикреплять вложения
Вы не можете редактировать свои сообщения

BB коды Вкл.
Смайлы Вкл.
[IMG] код Вкл.
HTML код Выкл.
Trackbacks are Выкл.
Pingbacks are Выкл.
Refbacks are Выкл.

Быстрый переход
Правила форумов CGM Контакты Справка Обратная связь CGM.ru Архив Вверх Главная
 
Использование материалов сайта разрешено только при наличии активной ссылки на источник.
Все права на картинки и тексты принадлежат Информационному агентству CGM и их ПАРТНЕРАМ. Политика конфидециальности
CGM.ru на Youtube CGM.ru на Google+ CGM.ru в Twitter CGM.ru на Facebook CGM.ru в vKontakte CGM.ru в Instagram

В сотрудничестве с Pokeroff.ru
Текущее время: 12:37. Часовой пояс GMT +3.
Powered by vBulletin® Version 3.8.7
Copyright ©2000 - 2024, vBulletin Solutions, Inc. Перевод: zCarot