[z_poker]

Парадокс Бертрана

заключается в том, что ответ на вопрос о вероятности казалось бы одного и того же события зависит от того, какую величину мы считаем распределённой равномерно.

Задача формулируется следующим образом. Для некоторой окружности случайным образом выбирается хорда. Необходимо найти вероятность того, что эта хорда длиннее стороны правильного треугольника, вписанного в окружность.

Бертран предложил три метода решения, каждый из которых даёт разный ответ.


Можно, исходя из соображений симметрии, принять, что одним концом хорды является фиксированная точка на окружности, и построить вписанный равносторонний треугольник с одной из вершин в данной точке. Длиннее его стороны лишь те хорды, что находятся внутри его угла (рисунок a). Предполагая, что угол, под которым хорда пересекает окружность, равномерно распределён, мы получим, что вероятность равна 1/3.

Другой вариант (рисунок b) – выбрать произвольный радиус. По соображениям симметрии, радиусы, перпендикулярные любой хорде, все равноправны, так что можно ограничиться одним и рассматривать лишь перпендикулярные ему хорды. Если точка пересечения хорды с радиусом лежит во внутренней половине последнего, то хорда меньше стороны вписанного равностороннего треугольника, если во внешней – то больше. Предполагая, что положение этой точки распределено равномерно, получаем, что вероятность равна 1/2.

Наконец (рисунок c), можно заметить, что каждая точка единственным образом определяет хорду, серединой которой она является. Такая хорда будет больше стороны вписанного равностороннего треугольника, если лежит в круге радиусом вполовину исходного, и меньше – если лежит в кольце между двумя окружностями. Предполагая, что распределение точки в круге равномерно, получаем, что вероятность равна отношению площадей меньшего и большего круга – то есть, 1/4.

[slimy]

Парадокс 8O

[Fedoskin]

Ты кто по профессии?

[HaemHuk]

Не вижу никакого парадокса ввиду того, что методы "a" и "b" некорректны. Очевидно, что густота точек (определяющих хорды) на окружности будет меняться при неизменной величине углов между хордами(случай "а") и интервалами между ними ("b") , что не даёт нам права считать вероятности по равномерному распределению.
На счёт корректности "с" мне сложно что-то сказать. В любом случае для такой задачи случайная хорда должна определяться двумя случайными точками на окружности и больше ничем.

[z_poker]

Хе ну не совсем парадокс

Сообщение от Fedoskin писал сб, 26 июля 2008 19:54

Ты кто по профессии?

ты не поверишь

[Dustangel]

Я не вижу никакого парадокса с учетом того, что исходная формулировка является неполной, и, дополняя ее произвольным образом, мы получаем на самом деле различные задачи с различными ответами на них.

[slimy]

Сообщение от HaemHuk писал сб, 26 июля 2008 20:17

Не вижу никакого парадокса виду того, что методы "a" и "b" некорректны. Очевидно, что густота точек (определяющих хорды) на окружности будет меняться при неизменной величине углов между хордами(случай "а") и интервалами между ними ("b") , что не даёт нам права считать вероятности по равномерному распределению.
На счёт корректности "с" мне сложно что-то сказать. В любом случае для такой задачи случайная хорда должна определяться двумя случайными точками на окружности и больше ничем.

После этого поста чувствую себя ничего не знающим, да и вообще неполноценным человеком....

[Grey]

Сообщение от HaemHuk писал

Не вижу никакого парадокса виду того, что методы "a" и "b" некорректны. Очевидно, что густота точек (определяющих хорды) на окружности будет меняться при неизменной величине углов между хордами(случай "а") и интервалами между ними ("b") , что не даёт нам права считать вероятности по равномерному распределению.

А кто сказал, что распределение должно быть равномерным? В условии сказано:
"Случайным образом выбирается хорда" но эта фраза не является строгой математической формулировкой, потому и появляется неоднозначность. Да и вообще, что можно считать "равномерным распределением" в этом случае, тоже непонятно.

Сообщение от Цитата:

На счёт корректности "с" мне сложно что-то сказать. В любом случае для такой задачи случайная хорда должна определяться двумя случайными точками на окружности и больше ничем.

тоже 1/3, хотя распределение явно другое, чем в случае "a".

[HaemHuk]

slimy, тут как бы всё просто. Просто сформулировал так, что сам еле понял)

Сообщение от Grey писал сб, 26 июля 2008 22:29

А кто сказал, что распределение должно быть равномерным? В условии сказано...

Согласен

Сообщение от Цитата:

тоже 1/3, хотя распределение явно другое, чем в случае "a".

что-то не понял про 1/3... :?
кстати в "с" тоже корректность отсутствует. Интересно узнать реальный ответ на задачу.

[TTR]

у меня живет дома хордовое животное :o

[HaemHuk]

Сообщение от TTR писал вс, 27 июля 2008 00:37

у меня живет дома хордовое животное :o

ты сам - хордовое животное, если не знал

[SunnyRay]

Вариант с двумя случайными точками на окружности совпадает с решением а).
Первую точку фиксируем, а длина дуги и угол с касательной отличаются ровно в 2 раза.

ЗЫ: у ТТР дома живет хордовое животное, при этом ТТР живет дома один. парадокс? :o

[фараон]

Сообщение от Dustangel писал сб, 26 июля 2008 21:26

Я не вижу никакого парадокса с учетом того, что исходная формулировка является неполной, и, дополняя ее произвольным образом, мы получаем на самом деле различные задачи с различными ответами на них.

Согласен. Типичные проблемы неоднозначности решения, когда неявной форме присутствует неоднозначность постановки задачи.

[Grey]

Сообщение от SunnyRay писал

Вариант с двумя случайными точками на окружности совпадает с решением а).

Ответ совпадает, распределение отличается.

[Итар-Тасс]

Сообщение от slimy писал сб, 26 июля 2008 22:11

После этого поста чувствую себя ничего не знающим, да и вообще неполноценным человеком....

Только не вешайся!!!!
Я тебя прошу!
там исходник несколько не так звучит-хотя автору ркспект.
Могу опубликовать текст на английском-хотя это вроде форум о покере-я ничего не перепутал?

[Grey]

Сообщение от Итар-Тасс писал

Только не вешайся!!!!
Я тебя прошу!
там исходник несколько не так звучит-хотя автору ркспект.
Могу опубликовать текст на английском-хотя это вроде форум о покере-я ничего не перепутал?

А если он еще и английского не знает, вообще в депрессию впадет. Лучше не надо.

[SunnyRay]

Сообщение от Grey писал вс, 27 июля 2008 10:09

Ответ совпадает, распределение отличается.

Да не отличается, вроде.
Первую точку фиксируем в обоих вариантах.
Вторая "случайная точка на окружности" означает, что ориентированная длина дуги между точками равномерно распределена от 0 до 2*Пи.
Ориентированный угол между касательной в первой точке и хордой, о котором идет речь в решении а, равен половине этой длины дуги.
По сути распределения совпадают.

Итар-Тасс, форум о покере несколькими разделами выше, а тут форум о политике, сексе и математике

[Grey]

Сообщение от SunnyRay писал

Да не отличается, вроде.

Ты прав, не отличается. Я ошибся.

[Итар-Тасс]

[quote title=SunnyRay писал вс, 27 июля 2008 18:04][quote title=Grey писал вс, 27 июля 2008 10:09]

Сообщение от SunnyRay писал

ит

Итар-Тасс, форум о покере несколькими разделами выше, а тут форум о политике, сексе и математике

клево

[slimy]

Сообщение от Grey писал вс, 27 июля 2008 11:42

А если он еще и английского не знает, вообще в депрессию впадет. Лучше не надо.

Английский слава Богу знаю неплохо, а то бы давно уже...