| |||||
| |||||
|
Важные объявления |
|
26.07.2008, 12:54 TS | #1 (permalink) |
Аксакал
Регистрация: 20.04.2007
Адрес: Харьков
Сообщений: 2,246
|
Парадокс Бертрана
заключается в том, что ответ на вопрос о вероятности казалось бы одного и того же события зависит от того, какую величину мы считаем распределённой равномерно. Задача формулируется следующим образом. Для некоторой окружности случайным образом выбирается хорда. Необходимо найти вероятность того, что эта хорда длиннее стороны правильного треугольника, вписанного в окружность. Бертран предложил три метода решения, каждый из которых даёт разный ответ. Можно, исходя из соображений симметрии, принять, что одним концом хорды является фиксированная точка на окружности, и построить вписанный равносторонний треугольник с одной из вершин в данной точке. Длиннее его стороны лишь те хорды, что находятся внутри его угла (рисунок a). Предполагая, что угол, под которым хорда пересекает окружность, равномерно распределён, мы получим, что вероятность равна 1/3. Другой вариант (рисунок b) – выбрать произвольный радиус. По соображениям симметрии, радиусы, перпендикулярные любой хорде, все равноправны, так что можно ограничиться одним и рассматривать лишь перпендикулярные ему хорды. Если точка пересечения хорды с радиусом лежит во внутренней половине последнего, то хорда меньше стороны вписанного равностороннего треугольника, если во внешней – то больше. Предполагая, что положение этой точки распределено равномерно, получаем, что вероятность равна 1/2. Наконец (рисунок c), можно заметить, что каждая точка единственным образом определяет хорду, серединой которой она является. Такая хорда будет больше стороны вписанного равностороннего треугольника, если лежит в круге радиусом вполовину исходного, и меньше – если лежит в кольце между двумя окружностями. Предполагая, что распределение точки в круге равномерно, получаем, что вероятность равна отношению площадей меньшего и большего круга – то есть, 1/4. |
0 |
26.07.2008, 20:17 | #4 (permalink) |
Аксакал
|
Не вижу никакого парадокса ввиду того, что методы "a" и "b" некорректны. Очевидно, что густота точек (определяющих хорды) на окружности будет меняться при неизменной величине углов между хордами(случай "а") и интервалами между ними ("b") , что не даёт нам права считать вероятности по равномерному распределению.
На счёт корректности "с" мне сложно что-то сказать. В любом случае для такой задачи случайная хорда должна определяться двумя случайными точками на окружности и больше ничем.
__________________
And in the end, the love you take is equal to the love you make (c) |
0 |
26.07.2008, 21:26 | #6 (permalink) |
Бессмертный
|
Я не вижу никакого парадокса с учетом того, что исходная формулировка является неполной, и, дополняя ее произвольным образом, мы получаем на самом деле различные задачи с различными ответами на них.
__________________
Наша война - это работа, в первую очередь работа интеллекта, где эмоциям нет места, потому что они могут исказить решение задачи и оказаться в конечном счете гибельными. |
0 |
26.07.2008, 22:11 | #7 (permalink) | |
Старожил
Регистрация: 04.03.2008
Адрес: Edge of the Earth
Сообщений: 763
|
Цитата:
__________________
Просто ускоряй свой шаг, твой успех неоспорим, Ну и кто бы сомневался, ты всегда номер один... |
|
0 |
26.07.2008, 22:29 | #8 (permalink) | ||
Бессмертный
Регистрация: 30.04.2004
Сообщений: 3,612
|
Цитата:
"Случайным образом выбирается хорда" но эта фраза не является строгой математической формулировкой, потому и появляется неоднозначность. Да и вообще, что можно считать "равномерным распределением" в этом случае, тоже непонятно. Цитата:
__________________
Arthur Grey |
||
0 |
26.07.2008, 23:37 | #9 (permalink) | |||
Аксакал
|
slimy, тут как бы всё просто. Просто сформулировал так, что сам еле понял)
Цитата:
Цитата:
кстати в "с" тоже корректность отсутствует. Интересно узнать реальный ответ на задачу.
__________________
And in the end, the love you take is equal to the love you make (c) |
|||
0 |
27.07.2008, 02:24 | #12 (permalink) |
Старожил
Регистрация: 25.05.2006
Сообщений: 805
|
Вариант с двумя случайными точками на окружности совпадает с решением а).
Первую точку фиксируем, а длина дуги и угол с касательной отличаются ровно в 2 раза. ЗЫ: у ТТР дома живет хордовое животное, при этом ТТР живет дома один. парадокс? :o
__________________
Нужно уметь проигрывать. К этой мысли следует постепенно приучать всех своих противников. |
0 |
27.07.2008, 09:36 | #13 (permalink) | |
Аксакал
Регистрация: 30.04.2008
Адрес: новосибирск
Сообщений: 1,666
|
Цитата:
|
|
0 |
27.07.2008, 11:05 | #15 (permalink) | ||
Консультант
|
Цитата:
Я тебя прошу! там исходник несколько не так звучит-хотя автору ркспект. Могу опубликовать текст на английском-хотя это вроде форум о покере-я ничего не перепутал?
__________________
Ставьте на красное,ставьте на черное,все равно выпадет зеро!(\"Блеф\") |
||
0 |
27.07.2008, 11:42 | #16 (permalink) | ||
Бессмертный
Регистрация: 30.04.2004
Сообщений: 3,612
|
Цитата:
__________________
Arthur Grey |
||
0 |
27.07.2008, 18:04 | #17 (permalink) | ||
Старожил
Регистрация: 25.05.2006
Сообщений: 805
|
Цитата:
Первую точку фиксируем в обоих вариантах. Вторая "случайная точка на окружности" означает, что ориентированная длина дуги между точками равномерно распределена от 0 до 2*Пи. Ориентированный угол между касательной в первой точке и хордой, о котором идет речь в решении а, равен половине этой длины дуги. По сути распределения совпадают. Итар-Тасс, форум о покере несколькими разделами выше, а тут форум о политике, сексе и математике
__________________
Нужно уметь проигрывать. К этой мысли следует постепенно приучать всех своих противников. |
||
0 |
27.07.2008, 19:41 | #19 (permalink) | |
Консультант
|
[quote title=SunnyRay писал вс, 27 июля 2008 18:04][quote title=Grey писал вс, 27 июля 2008 10:09]
Цитата:
__________________
Ставьте на красное,ставьте на черное,все равно выпадет зеро!(\"Блеф\") |
|
0 |
28.07.2008, 03:04 | #20 (permalink) | |||
Старожил
Регистрация: 04.03.2008
Адрес: Edge of the Earth
Сообщений: 763
|
Цитата:
__________________
Просто ускоряй свой шаг, твой успех неоспорим, Ну и кто бы сомневался, ты всегда номер один... |
|||
0 |
Похожие темы | ||||
Тема | Автор | Раздел | Ответов | Последнее сообщение |
парадокс теории вероятности | vik_ | Безлимитный холдем микро бай-инов | 13 | 09.12.2010 10:47 |
Парадокс двух конвертов (или простая задачка на EV) | amokkkkk | Теории, стратегии, основы покера | 20 | 09.09.2009 12:36 |
парадокс | 4eckist | Теории, стратегии, основы покера | 17 | 08.02.2008 21:34 |
Парадокс Монти Холла | EugeniyK | Игра вообще | 2 | 14.12.2006 21:20 |
Опции темы | |
|
|