[Irokez]

Дан круг.Внутри случайным образом располагается точка.Надо найти дисперсию и мат ожидание расстояния от точки до центра круга.

Подскажите как решается,спасибо

[nuclear]

У меня получилось Mr = 2/3*R, Dr = R*R/18

Рассуждал так. Вероятность попасть в диапазон [r; r+dr] dp = (2*pi*r*dr)/(pi*R*R). Отсюда плотность распределения вер-сти f(r) = 2*r/(R*R). Чтобы найти r среднее интегрируем f(r)*r от 0 до R. Чтобы найти r^2 среднее интегрируем f(r)*r^2 от 0 до R.

Матожидание будет = r среднему.
Дисперсия = r^2 среднее - (r среднее)*(r среднее)

[Irokez]

nuclear
Супер,большое спасибо.

[CorwinXX]

Задачу будем решать в полярных координатах. Так как от угла ничего не зависит, то, как правильно написал Sharky, задача сводится к:
найти МО и Диспу случайной величины на отрезке 0..n.

Ответ:
МО = 1/2
Диспа = 1/12

Решение смотрим здесь:

[Зарегистрироваться?] D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BE%D1%82%D 0%BA%D0%BB %D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5

[Irokez]

MO 1/2R чисто логически отметается.Потому что точек с большим радиусом внутри круга больше.

[EgorK]

Сообщение от CorwinXX писал вт, 13 ноября 2007 16:09

Задачу будем решать в полярных координатах. Так как от угла ничего не зависит, то, как правильно написал Sharky, задача сводится к:
найти МО и Диспу случайной величины на отрезке 0..n.

Ответ:
МО = 1/2
Диспа = 1/12

Решение смотрим здесь:

[Зарегистрироваться?] D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BE%D1%82%D 0%BA%D0%BB %D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5

Величина не равномерно распределена на [0, R].
Мат ожиидание 2/3R = \frac{\int_0^R r^2 dr}{\int_0^R r dr}.
Диспа 1/18R^2 = \frac{\int_0^R r(r - \frac{2}{3}R)^2 dr}{\int_0^R r dr}.

[Sharky]

Сообщение от CorwinXX писал вт, 13 ноября 2007 15:09

Задачу будем решать в полярных координатах. Так как от угла ничего не зависит, то, как правильно написал Sharky, задача сводится к:
найти МО и Диспу случайной величины на отрезке 0..n.

Во-во.. Тут и ошибся, вообще начал с того, что имея точку на X:Y, получая дистанцию sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)), ошибочно подумал, что можно перейти к полярной системе без погрешности.. А задача хитрая, сц#ка.. Нужно определить вначале вероятности нахождения точки в возрастающей площади. Кстати, через окружность, имхо, тоже немного не корректно, хотя приемлемо..

[Sharky]

А задача откуда, если не секрет? В смысле область применения?

To nuclear: А как изменится твой метод, если вместо линейки будут шкалы (непропорциональны делениям)? В сугубо личных интересах.. эээ интересуюсь?

[Irokez]

Sharky
учебная

[Andy Sopl]

Сообщение от nuclear писал вт, 13 ноября 2007 14:51

У меня получилось Mr = 2/3*R, Dr = R*R/18

Рассуждал так. Вероятность попасть в диапазон [r; r+dr] dp = (2*pi*r*dr)/(pi*R*R). Отсюда плотность распределения вер-сти f(r) = 2*r/(R*R). Чтобы найти r среднее интегрируем f(r)*r от 0 до R. Чтобы найти r^2 среднее интегрируем f(r)*r^2 от 0 до R.

Матожидание будет = r среднему.
Дисперсия = r^2 среднее - (r среднее)*(r среднее)

+1
Только где сложность задачи?

[nuclear]

Сообщение от Sharky писал ср, 14 ноября 2007 00:46

To nuclear: А как изменится твой метод, если вместо линейки будут шкалы (непропорциональны делениям)? В сугубо личных интересах.. эээ интересуюсь?

Не очень понял вопрос, если честно. Если интересует вер-сть попасть между двумя точками r1 и r2, то она будет равна отношению площадей диска (r1,r2) и всего круга p12 = (pi*(r2^2 - r1^2)) / (pi*R^2). Такой же результат можно получить просто проинтегриров f(r) от r1 до r2.

Собственное в первом своем посте я так и поступал. Только у меня диск был очень очень тонкий толщиной dr, поэтому его площадь можно было приблизительно считать равной (2*pi*r*dr).

Т.е. отличие задачи с кругом от задачи с отрезком заключается в следующем. Чтобы определить вер-сти в задаче с отрезком мы ищем отношение отрезков, а в задаче с кругом мы ищем отношение площадей. Если бы был шар, то нужно уже было бы работать с объемами.

Вроде попытался написать по-подробнее. Если на вопрос все-таки не ответил, то уточни, плиз.

[CorwinXX]

Сообщение от SJIaDeN'Kii писал вт, 13 ноября 2007 16:16

MO 1/2R чисто логически отметается.Потому что точек с большим радиусом внутри круга больше.

Понял. Согласен. Нельзя так просто переходить к полярным координатам.
Прочитал пост nuclear. Согласен с его решением.

[Tourist2007]

Насколько универсален этот форум! Даже задачки по терверу позволяет решать. 8-)

[Andy Sopl]

Сообщение от Tourist писал сб, 17 ноября 2007 06:44

Насколько универсален этот форум! Даже задачки по терверу позволяет решать. 8-)

Все более или менее понимающие, что такое вероятность сейчас играют в покер.