[Gump]

Поддерживаю цифру 31.
А вообще по рассказам некоторых моих бывших одноклассников, ездивших на учебу в США, был более низкого мнения об уровне задач у них.

[CorwinXX]

Я тоже хотел спросить об этом.

В каком классе и в какой школе (тип, а не название - т.е. как у нас бывают ФМШ и т.п.) дают такие задачи?

[NiHeraNeSsu]

Сообщение от CorwinXX писал ср, 29 марта 2006 03:42

Я тоже хотел спросить об этом.

В каком классе и в какой школе (тип, а не название - т.е. как у нас бывают ФМШ и т.п.) дают такие задачи?

9-й предвыпускной класс of high school - math competition class.
Вот еще одна оттуда же.
Река течет по прямой линии.
На берегу, в некотором от нее, отдалении стоит дом, в котором живет мужик.
На этом же берегу на некотором отдалении и от и дома, и от реки, но в пределах видимости мужика растет дерево.
Все расстояния - произвольные.
Мужику надо выйти их дома, дойти до реки, зачeрпнуть ведро воды и полить дерево.
Как ему выбрать наикратчайший путь ?

[Gump]

Отобразить дерево относительно реки с другой стороны.

[MikeT37]

Сообщение от Gump писал ср, 29 марта 2006 14:52

Отобразить дерево относительно реки с другой стороны.

Точнее, идти по направлению отражения дерева. (Если река достаточно широкая)

[NiHeraNeSsu]

Сообщение от bdv писал вт, 28 марта 2006 23:57

Поддерживаю. Доказательство, кстати, чисто математическое.

А мне казалось никакой математики нет - арифметика в лучшем случае. Дверь меняет статус столько раз, сколько у ее номера разных делителей. Любое целое число имеет четное количество делителей за исключением квадратов. Вот собственно и все. Правда, пока я логически дошел до этого, у меня последняя извилина распрямилась.

Сообщение от Цитата:

Отобразить дерево относительно реки с другой стороны.

Да, верно конечно, но я опять-таки рисовал поначалу треугольники и вспоминал штаны Пифагора.

[nik_kg]

Хочется предоставить подробное доказательство первой задачки ...


Пусть n - количество дверей.

1-й изменяет статус всех дверей (т.к. 1 делит n для любого n)
2-й изменяет статус четных дверей (2 делит n)
(2,4,6,8,10,12,14,16,...)
3-й изменяет статус каждой 3-й двери (3 делит n)
(3,6,9,12,15,...)
......
n-й изменяет статус только n-й двери (n делит только n)

Т.е. чтобы слуга изменил номер двери, НОМЕР СЛУГИ должен быть делителем НОМЕРА ДВЕРИ.

Далее. Если дверь меняет свой статус четное количество раз, то она в итоге будет закрытой; если же нечетное - открытой.

Таким образом, задача сводится к следующей: найти все такие числа, которые имеют НЕЧЕТНОЕ количество делителей. Эти числа и будут номерами открытых дверей.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ: Числа, являющиеся полными квадратами целых чисел и только они имеют нечетное количество делителей.

Доказательство:

Т.к. тривиальные делители любого числа (1 и само это число) не меняют четности делителей, то мы их не учитываем.

I. Пусть b не является полным квадратом ни одного целого числа.

Пусть a делит b. Тогда существует c (единственное) такое что b=ac.

Но тогда c делит b.

а<>с, т.к. иначе бы b=a^2, т.е. b - полный квадрат числа а, что противоречит условию.

Следовательно, для каждого делителя числа b найдется единственный парный ему делитель. Т.е. число делителей четно.

II. Пусть теперь b является полным квадратом некоторого числа a.

Тогда b=a*a. Т.е. a делит b.

Любой другой делитель числа b будет иметь парный делитель. Т.к. иначе b=c*c для некоторого c, но тогда c=a.

Таким образом b имеет только один делитель у которого нет пары. Т.е. число делителей у b - нечетно.

Все a,b,c из множества Z.

Доказано.


Итак. Остается выяснить сколько чисел меньших либо равных n являются полными квадратами. Для n=1000 их будет 31.

31*31=961.

[bdv]

Сообщение от NiHeraNeSsu писал ср, 29 марта 2006 15:25

А мне казалось никакой математики нет - арифметика в лучшем случае.

Я просто тебя понял так, что математики там нет ни в каком виде. Вообще. Т.е ответ очевиден для нормального человека, а всякие математики пытаются избрести велосипед

Сообщение от NiHeraNeSsu писал ср, 29 марта 2006 15:25

Дверь меняет статус столько раз, сколько у ее номера разных делителей. Любое целое число имеет четное количество делителей за исключением квадратов.

Ну это тоже надо доказать

[Gump]

NHNS, надеюсь не будешь против

Тоже 9й класс, но школа уже российская (надеюсь те, кто был в пансионате и слышал обсуждение промолчат):

Встречаются 2 друга:
-У тебя дети есть
2й: Да трое
-А сколько им лет
2й: Произведение их возрастов равно 36
-Не понимаю
2й: А сумма их возрастов ранва сумме этажей вон того дома напротив
- Все равно не понятно
2й А младший из них рыжий
-А ну тогда все понятно

Сколько детям лет и почему?

[NiHeraNeSsu]

Сообщение от Gump писал ср, 29 марта 2006 06:38

NHNS, надеюсь не будешь против

Тоже 9й класс, но школа уже российская (надеюсь те, кто был в пансионате и слышал обсуждение промолчат):

Встречаются 2 друга:
-У тебя дети есть
2й: Да трое
-А сколько им лет
2й: Произведение их возрастов равно 36
-Не понимаю
2й: А сумма их возрастов ранва сумме этажей вон того дома напротив
- Все равно не понятно
2й А младший из них рыжий
-А ну тогда все понятно

Сколько детям лет и почему?

Вроде как если существуют 14-, 21-этажные дома и.т.д., то решений много:
1. 2 3 и 6.
2. 1 2 и 18.
3. 1 3 и 12
4. 1 4 и 9.
5. 1 6 и 6.

Насколько я помню 11- и 13- этажные дома точно есть то есть и 1. и 5.
получается проходит. Где я напорол ?

[Gump]

Решение одно.

Ps Решения плз с обоснованиями

[bdv]

6,6,1
Возможные варианты разложения 36 на три множителя дают только 2 варианта с одинаковой суммой (нам ведь недостаточно инофрмации об этажности).
6,6,1 и 2,2,9
Но так как есть младший, то тепреь ответ очевиден.

[NiHeraNeSsu]

Кстати, отсылаю к еще одной задаче - для тех, кто ее не знает, будет наверняка интересно:
http://forum.cgm.ru/msg?th=5903&start=0

[Gump]

Сообщение от bdv писал ср, 29 марта 2006 15:53

6,6,1
Возможные варианты разложения 36 на три множителя дают только 2 варианта с одинаковой суммой (нам ведь недостаточно инофрмации об этажности).
6,6,1 и 2,2,9
Но так как есть младший, то тепреь ответ очевиден.

Respect

[Gump]

Сообщение от NiHeraNeSsu писал ср, 29 марта 2006 16:04

Кстати, отсылаю к еще одной задаче - для тех, кто ее не знает, будет наверняка интересно:
http://forum.cgm.ru/msg?th=5903&start=0

Соглашусь с Cardinaloм

[NiHeraNeSsu]

Сообщение от Gump писал ср, 29 марта 2006 07:13

Соглашусь с Cardinaloм

Неверно.

[NiHeraNeSsu]

Сообщение от Gump писал ср, 29 марта 2006 07:07

Respect

Да, въехал, очень изящно. Получается, смысл в последовательности вопросов, если их перечислить все сразу, то решений много.

[CorwinXX]

Шестой класс:

Два брата решили продать свою отару овец. Каждую овцу решили продавать за столько рублей, сколько овец было в отаре. Деньги получили десятками плюс остаток рублёвыми монетами.

Старший брат начал делить деньги - себе десятку, младшему десятку, себе десятку .... Последнюю десятку положил себе, а брату не хватило. Тогда он отдал брату все монеты и, чтобы было поровну, отдал ему свой ножик.

Сколько стоил ножик?

[Gump]

4. Тк рублей должно быть в квадрате, а нечетная 1я цифра только у 36, 196 и тд.
2 NHNS. Да пожалй поторопился насчет подкидного.

[CorwinXX]

Сообщение от NiHeraNeSsu писал ср, 29 марта 2006 16:04

Кстати, отсылаю к еще одной задаче - для тех, кто ее не знает, будет наверняка интересно:
http://forum.cgm.ru/msg?th=5903&start=0

На первый взгляд игрок Б выиграет.

1. Если А ходит средним козырём (дама-десятка), то Б кроет королём и выходит с трёх семёрок (двух, если А доложит некозырную десятку к козырной).

2. Если А ходит тузом, а потом средним козырём, то как в п.1, только Б перед ходом с семёрок отдаёт туза.

3. Если А ходит одной некозырной десяткой, то Б кроет её козырной семёркой (если А доложит козырную, то получаем п.1). Дальше Б ходит одной семёркой. Если А берёт, то Б ходит второй семёркой. Если А кроет, то получаем ситуацию аналогичную исходной (см. п.1).

4. Если А ходит тузом, а потом одной некозырной десяткой, то Б кроет её козырной семёркой. Дальше король, туз и семёрки.