[SunnyRay]

Тема про деление на ноль (ну, в смысле про 5=4), напомнила геометрическое доказательство, повергшее меня когда-то в шок



Рассмотрим произвольный треугольник ABC.
Проведем биссектрису угла B и серединный перпендикуляр к стороне AC; точку их пересечения назовем O.
Опустим из нее перпендикуляры EO и OF на стороны AB и BC соответственно.

Т.к. DO одновременно и высота и медиана треугольника AOC, то он равнобедренный и AO = OC.
Т.к. BO - биссектриса, то, из равенства треугольников EBO и OBF получаем EB = BF, и EO = OF.
Следовательно, треугольник AEO равен треугольнику FCO (прямоугольные с равными катетом и гипотенузой), т.е. AE = FC.
Отсюда, т.к. AB = AE + EB и BC = BF + FC, AB = BC.
Проведя такое же рассуждение для основания не AC, а, например, AB, получим, что BC = CA.
AB = BC = CA, треугольник равносторонний!

[z_poker]

Для начала нужно доказать что DO и BO вообще пересекаются

[TTR]

Проведем биссектрису угла B и серединный перпендикуляр к стороне AC; точку их пересечения назовем O.

ЭТОГО НЕЛЬЗЯ СДЕЛАТЬ!


я в 9 классе еще опроверг сразу эту теорему

[o_O-zZ]

В треуголнике на картинке угол EBO меньше угла OBF, или мне просто кажется ?

[SunnyRay]

Сообщение от z_poker писал пн, 08 октября 2007 17:11

Для начала нужно доказать что DO и BO вообще пересекаются

Ну давай докажу

Если треугольник равнобедренный (AB=AC), то требуемое уже доказано (требуемое - это имеется в виду именно, что AB=АС, ведь всё доказательство ради этого).

Теперь если треугольник неравнобедренный (AB!=AC). Чтобы доказать, что DO и BO пересекаются, достаточно доказать, что они не параллельны. Предположим, что DO параллельна BO. Так как DO перепендикулярна AC, то и BO перпендикулярна AC. но тогда BO одновременно является высотой и биссектрисой, следовательно, треугольник ABC равнобедренный (AB=AC), что противоречит предположению. Значит, DO непараллельна BO, то есть они пересекаются.

TTR, это также и ответ на твой пост. Почему это нельзя? Провести биссектрису можно? Можно. Серединный перпендикуляр можно? Можно. Они пересекаются? Пересекаются. Какие проблемы? 8-)

o_O-zZ, геометрия - это искусство делать точные расчёты на приблизительных рисунках . И чаще всего они оказываются верными. Мало кто в школе заботился о точных чертежах (или все, кроме меня? )

[o_O-zZ]

Сообщение от SunnyRay писал пн, 08 октября 2007 19:10

Ну давай докажу

Если треугольник равнобедренный (AB=AC), то требуемое уже доказано (требуемое - это имеется в виду именно, что AB=АС, ведь всё доказательство ради этого).

Теперь если треугольник неравнобедренный (AB!=AC). Чтобы доказать, что DO и BO пересекаются, достаточно доказать, что они не параллельны. Предположим, что DO параллельна BO. Так как DO перепендикулярна AC, то и BO перпендикулярна AC. но тогда BO одновременно является высотой и биссектрисой, следовательно, треугольник ABC равнобедренный (AB=AC), что противоречит предположению. Значит, DO непараллельна BO, то есть они пересекаются.

Если они пересекутся вне треугольника, то задача не будет иметь смысла.

[FoldMastooo]

Сообщение от o_O-zZ писал пн, 08 октября 2007 22:35

Если они пересекутся вне треугольника, то задача не будет иметь смысла.

+1

зы: Я, конечно дико извиняюсь, но я не уловил про равенство треугольников. Как мы из одной биссектрисы получили кучу равных сторон?

[TTR]

Сообщение от SunnyRay писал пн, 08 октября 2007 19:10

Ну давай докажу

Если треугольник равнобедренный (AB=AC), то требуемое уже доказано (требуемое - это имеется в виду именно, что AB=АС, ведь всё доказательство ради этого).

Теперь если треугольник неравнобедренный (AB!=AC). Чтобы доказать, что DO и BO пересекаются, достаточно доказать, что они не параллельны. Предположим, что DO параллельна BO. Так как DO перепендикулярна AC, то и BO перпендикулярна AC. но тогда BO одновременно является высотой и биссектрисой, следовательно, треугольник ABC равнобедренный (AB=AC), что противоречит предположению. Значит, DO непараллельна BO, то есть они пересекаются.

TTR, это также и ответ на твой пост. Почему это нельзя? Провести биссектрису можно? Можно. Серединный перпендикуляр можно? Можно. Они пересекаются? Пересекаются. Какие проблемы? 8-)

o_O-zZ, геометрия - это искусство делать точные расчёты на приблизительных рисунках . И чаще всего они оказываются верными. Мало кто в школе заботился о точных чертежах (или все, кроме меня? )

Проведи))

[13]

Углы AOE и FOC не равны, следовательно AE не равно FC. Это из рассуждений.
Да впринципе и на глаз видно, что если BE равно BF, то разница сторон вылезет на отрезках AE и FC.

[SunnyRay]

2All
Ссылаться на то, что на рисунке что-то видно, неправильно. В рассуждениях-то где ошибка? Каким образом они основываются на рисунке? Рисунок тут лишь для удобства, доказательство - это только текст.
И доказывать другими способами, что не все треугольники равносторонние, тоже не надо . Надо чётко указать на ошибку в доказательстве.

FoldMastooo
Как из одной биссектрисы получить кучу равных сторон:
Треугольники BEO и BFO являются прямоугольными по построению и имеют общую сторону BO, кроме того, так как BO биссектриса, то у них есть ещё и равные углы EBO и FBO. Значит, эти треугольники равны, откуда EB = BF, и EO = OF.
Равенство сторон AO и OC получаются не из биссектрисы, а из серединного перпендикуляра.

13
Почему это углы AOE и FOC не равны? EO = OF и EB = BF доказано, треугольники прямоугольные, следовательно, они равны. А раз равны треугольники, то равны и углы. Что не так?

o_O-zZ
Почему задача не будет иметь смысла, если пересекутся вне треугольника? Что изменится-то? Треугольники те же будут, вроде.

TTR
А ты вообще флудер и оверквотер И теорему ты не ОПРОВЕРГ, а ОТВЕРГ

[13]

глюк

[SunnyRay]

Сообщение от 13 писал вт, 09 октября 2007 14:59

Почему это углы AOE и FOC не равны? EO = OF и EB = BF доказано, треугольники прямоугольные, следовательно, они равны. А раз равны треугольники, то равны и углы. Что не так?

Тут ошибка.

Тут я равенства перепутал . Должно быть "EO = OF и AO = OC доказано, треугольники прямоугольные, следовательно, они равны". В первом посте всё правильно. Прямоугольные треугольники с равными катетами и гипотенузами равны. Ошибки не вижу. Что именно не так? Катеты не равны? Гипотенузы не равны? Треугольники не прямоугольные? Из равенства катетов и гипотенуз прямоугольных треугольников не следует равенство треугольников?

[13]

Все дело в точке О. она за пределами треугольника, но как доказать?

[13]

Не правильно чето я совсем загнался :(

[Irokez]

Гораздо проще просто привести 1 контрпример.Взять любой треугольник,котоырй по этой теореме равнобедренынй и д-ть что это не так.

[kero]

точка О в таком виде как она показана не существует. только в равнобедренном треугольнике эти линии пересекуться все в одной точке, в кривом треугольнике вместо точки О будет маленький треугольник

[o_O-zZ]

Если точка будет вне треугольника то по полученным равенствам мы не сможем говорить о том, что исходный треугольник равнобедренный. рисовать картинку лень

[SunnyRay]

o_O-zZ, 13, ладно, сдаюсь, вы правы, всё дело в точке О, вы молодцы . Но хорошо бы всё-таки ещё указать на конкретную ошибку в тексте доказательства, а не в рисунке.

SJIaDeN'Kii
Привести контрпример к тому, что все треугольники равносторонние? :o

kero
Не, не то. О - точка пересечения биссектрисы и серединного перпендикуляра. Из двух линий никакого маленького треугольника не получится.

[o_O-zZ]

Сообщение от SunnyRay писал пн, 08 октября 2007 15:58

Тема про деление на ноль (ну, в смысле про 5=4), напомнила геометрическое доказательство, повергшее меня когда-то в шок

Вложение 52616

Рассмотрим произвольный треугольник ABC.
Проведем биссектрису угла B и серединный перпендикуляр к стороне AC; точку их пересечения назовем O.
Опустим из нее перпендикуляры EO и OF на стороны AB и BC соответственно.

Хотя бы один перпендикуляр из точки О опустится не на сторону треугольника, а на её продолжение.

[Bob_a]

Сообщение от SunnyRay писал вт, 09 октября 2007 16:45

o_O-zZ, 13, ладно, сдаюсь, вы правы, всё дело в точке О, вы молодцы . Но хорошо бы всё-таки ещё указать на конкретную ошибку в тексте доказательства, а не в рисунке.

Вот:

Сообщение от Цитата:

...Т.к. BO - биссектриса, то, из равенства треугольников EBO и OBF получаем EB = BF, и EO = OF...

и пояснение, которое ты дал:

Сообщение от Цитата:

...Как из одной биссектрисы получить кучу равных сторон:
Треугольники BEO и BFO являются прямоугольными по построению и имеют общую сторону BO, кроме того, так как BO биссектриса, то у них есть ещё и равные углы EBO и FBO. Значит, эти треугольники равны, откуда EB = BF, и EO = OF.
Равенство сторон AO и OC получаются не из биссектрисы, а из серединного перпендикуляра...

то свойство равенств треугольников на которое ты хитро ссылаешься, называется "по двум углам и стороне между ними". Сторона ВО не лежит между рассматриваемыми углами. Фсё. Ложное доказательство равенств треугольников BEO и BFO.
(два других свойства равенств: "по двум сторонам и углу между ними" и "по трём сторонам", здесь присобачить вообще негде.)
Если это пропустить, то дальше всё верно, шары нету .