[cassolete]

Ведётся стрельба из лука. Вероятность попадания известна и равна P. Игра прекращается сразу после первого промаха. Существует ли какая-нибудь формула для расчёта среднего числа попаданий подряд? Или способ один: составлять ряд распределения и потом его усреднять путём суммирования произведений количеств попаданий подряд на их вероятность, и последующего деления на число слагаемых? И вообще верен ли подобный метод расчёта?
Всем заранее спасибо Извиняюсь за то, что непокерная задача помещена в покерный форум. Просто не знал, где ещё спросить

[cassolete]

Мой метод явно ошибочен Верно только то, что нужно составлять ряд распределения, а вот что с ним дальше делать - незнаю. Есть предположение, что величина попаданий подряд, которой будет соответствовать вероятность ~0.5 ряда распределения и будет являться средним значением.

[RHnd]

На вскидку: Предел при n->+Inf {p[1-p][1+2p+3p^2+...+np^(n-1)]/[n]}
Я бы моделировал.

[Mariner]

Приветствую!

2 cassolete

Сейчас нет Гмурмана под рукой, дал поюзать...

Вроде есть такое распределение вероятностей, называется веротяность успеха до перовго выигрыша/поражения...

Формула навроде:
1-P^n

Книги вернут,уточню.

[cassolete]

2 RHnd Если это не глум, ты не мог бы расшифровать inf, 2p, 3p, n?
2 Mariner, увы , здесь не всё так просто. В моей задачке нет никаких n, есть только вероятность И я уверен, что она имеет решение. Вероятность попадать подряд при любом заданном n посчитать совершенно нетрудно, как и вероятность проиграть на n-ном разе. Проблема в том, что все эти n (от 1ого до бесконечности) имеют разную вероятность появления и задача как раз и состоит в том, чтобы как-то усреднить результат.

В любом случае спасибо обоим за заботу.

[Mariner]

Приветствую!

2 cassolete

Тогда соглашусь скорее с RHnd. Симуляция и еще раз симуляция.

PS. В свое время нас пол года дрючили взятием интегралоы методом Монте-Карло. И вообще, Марковскими процессами.

PPS. Книги вернут, отпишусь.

PPPS. inf - (анг.) infinity, что по русски значит "бесконечность". oo - типа бесконечноть.

[I will kill your set]

Сообщение от cassolete писал сб, 29 октября 2005 15:20

Ведётся стрельба из лука. Вероятность попадания известна и равна P. Игра прекращается сразу после первого промаха. Существует ли какая-нибудь формула для расчёта среднего числа попаданий подряд? Или способ один: составлять ряд распределения и потом его усреднять путём суммирования произведений количеств попаданий подряд на их вероятность, и последующего деления на число слагаемых? И вообще верен ли подобный метод расчёта?
Всем заранее спасибо Извиняюсь за то, что непокерная задача помещена в покерный форум. Просто не знал, где ещё спросить

Я совсем не математик,но мне эта задача показалась и не математической,а скорей логической.Если вероятность попадания 0<P<1,то можно предположить,что первый выстрел вполне может быть и последним и верятность этого исхода имеет конкретную величину.
Но,коль речь идёт о "среднем числе попаданий подряд",то нам не уйти от понятия "n попыток ".Количественно число попаданий подряд лежит в пределе от 0 до inf и любое его значение имеет свою вероятность.Для 5-ти подряд вероятность одна для 1000 подряд другая,но "среднее число попаданий подряд"категория не вероятностная,а это просто действительное число и при вероятностном условии задачи,всегда будет величиной переменной в пределах от 0 до infinity.

[RHnd]

Не, не глум. Inf, как уже сказали - бесконечность. p- вер-ть попадания. n - число экспериментов.
Но формула, как я подумал попозжа, вряд ли верная. :(
Вообщем, если для практики - то симуляция. Если для теории, то надо еще подумать. Тебе для чего?

[RHnd]

Подумал еще раз. Похоже, правильный ответ был.
Тока n-не число экспериментов, а число попаданий и делить на n не надо. Т.е. для каждого возможного результата числа попаданий N(от 0 до Inf есть его вер-ть (p^N)(1-p). Суммируя произведения результатов на их вер-ти получаем
lim {p*(1-p)*(1+p+2*p+3*p^2+...+n*p^[n-1])}
n->+Inf
При 0<p<1 предел, вроде,должен сходиться. Брать лень. Если очень надо, то попробую подумать.

PS: Вот так бывает, сначала напишешь правильно на автамате, а как начнешь потом задумываться - неуверенность появляется. А потом еще раз подумаешь - Хех! А на автомате-то правильно было!

[I will kill your set]

Очень интересная для меня тема и мне явно не хватает знаний в области тервера,так что я залез в дебри со своими вычислениями и выводами,но
я прошу меня поправить,если ход моей мысли нелогичен в поиске понимания данной темы:
вероятность выпадения zero на рулетке 1/37.Вероятность выпадения zero два раза подряд (1/37)*(1/37)=1/1369 т.е.за 1369 бросаний шарика мы можем ожидать выпадения zero два раза подряд "однажды"-правильно?Не правильно-понимаю,но предположим дисперсия отсутствует и вероятность работает железно даже на очень коротких дистанциях для упрощения понимания.Три раза подряд (1/37)*(1/37)*(1/37)=1/50653 и т.д.
m раз подряд zero выпадет за 37^m раз(не знаю правильно ли я написал 37 в m степени)
Если принять во внимание,что число бросаний шарика n->inf,то можем предположить,что число выпадений подряд zero(m) может принимать любые целые положительные значения,пусть с очень малой,но все же большей,чем 0 вероятностью.Вместе с этим,выпадение zero скажем три раза подряд,одновременно является и выпадением zero два раза подряд дважды,что лично меня приводит в тупик,при попытке описать общее количество возможных серий повторений и их наложении друг на друга.

Вопрос:чему равно среднее количество выпадения zero(p=1/37)подряд при n->inf бросаний шарика.И если Вам не трудно,то для сравнения скажите среднее количество выпадения решки подряд при игре в орлянку при (p=1/2).

Заранее блогодарен и прошу прощения,если говорю глупые вещи.

[cassolete]

Сообщение от RHnd писал сб, 29 октября 2005 22:10

Подумал еще раз. Похоже, правильный ответ был.
Тока n-не число экспериментов, а число попаданий и делить на n не надо. Т.е. для каждого возможного результата числа попаданий N(от 0 до Inf есть его вер-ть (p^N)(1-p). Суммируя произведения результатов на их вер-ти получаем
lim {p*(1-p)*(1+p+2*p+3*p^2+...+n*p^[n-1])}
n->+Inf
При 0<p<1 предел, вроде,должен сходиться. Брать лень. Если очень надо, то попробую подумать.

Мне кажется, что суммирование произведений результатов на их вер-ти ошибка. Это ведь не формула МО, и не формула расчёта средней арифметической взвешенной. Если подставлять конкретные значения P, то предел константы равен нулю. Если не подставлять, то вычислить предел такого ряда я не смогу, т.к. умею это делать только с рядами Маклорена и Тэйлора. К тому же, если этот предел высчитывается, и в ответе можно получить готовую формулу в виде зависимости числа попаданий подряд от P, то она наверняка есть в готовом виде.

2 I will kill your set
И про лук , и про шарик, и про орлянку - это одна и та же задача

Мои домыслы о расчёте свелись к следующему: составляем ряд распределения путём просчитывания для каждого(ограничимся 5тью) числа попаданий подряд их вероятности. Затем смотрим, какому числу попаданий соответствует значение 0.5. Это кривая логика, но на мой взгляд приближённо отражает реальную картину. Например, для вероятности 0.5 значению 0.5 соответствует значение 1. Т.е. в среднем , например, монетка падает решком 1 раз подряд. Хотя любой математик мне объяснит, что смешно для примера брать вероятность 0.5 , потому что слишком много несвязанных совпадений можно получить , манипулируя этими 0.5 в разных формулах подсчёта различных вероятностей, связанных с этой величиной

[cassolete]

Кстати, а что за симуляция ? И как её сделать?) Спасибо

[RHnd]

Сообщение от cassolete писал вс, 30 октября 2005 07:13

Мне кажется, что суммирование произведений результатов на их вер-ти ошибка. Это ведь не формула МО, и не формула расчёта средней арифметической взвешенной. Если подставлять конкретные значения P, то предел константы равен нулю. Если не подставлять, то вычислить предел такого ряда я не смогу, т.к. умею это делать только с рядами Маклорена и Тэйлора. К тому же, если этот предел высчитывается, и в ответе можно получить готовую формулу в виде зависимости числа попаданий подряд от P, то она наверняка есть в готовом виде.

1) Предел константы равен не 0, а этой константе.
2) Если подставить конкретное p, то при чем тут константа? В пределе-то еще n остается.
3) Мы ищем МО попаданий подряд плюс промах следующим - т.е. сумма произведений возможного исхода на его вер-ть по всем исходам (от 0 до +Inf) и есть МО. По определению.

Я тут помоделировал. Брать предел чисто математически - лень. Но,судя по графику, получается что-то типа двойного апериодического переходного процесса (т.е., наложение двух экспонент с чисто реальными корнями). При p=0.9 сходится к 9. Теперь пойду помоделирую на ГСЧ. Един фик турниры на Пати лежат.

[RHnd]

Итак, результаты: МФ - моделирование по формуле. МГСЧ - моделирование по ГСЧ.

p МФ МГСЧ
0.9 9 9.01
0.7 2.33 2.32
0.5 1 0.99
0.3 0.42 0.42
0.1 0.11 0.11

Так что, как видно из моделирования, формула верна. А вот брать предел в общем виде - лень.

[cassolete]

Благодарю, это именно то, что мне нужно. Насчёт константы я действительно погорячился Вы не могли бы научить меня самому моделировать подобные числа? Потому что мне нужны средние числа попаданий для P от 0.2 до 0.96. Если , конечно, это Вас не затруднит.
Кстати, 2:30 EST - это сколько по-нашему?

[cassolete]

Видимо затруднит Ну ничего, счз попробую вспомнить бейсик и написать скрипт для расчёта искомой величины. Только можно ли доверять его рандомайзеру?

[cassolete]

В бейсике так ничего и не получилось Но по приведённым вами данными можно заметить , что искомая средняя величина равна P/(1-P). Я вот подумал, может это и есть нужная формула? Или совпадение Или где-то ошибка в расчётах.

[I will kill your set]

[quote title=cassolete писал вс, 30 октября 2005 07:13
2 I will kill your set
И про лук , и про шарик, и про орлянку - это одна и та же задача

[/quote]

Ну разумеется это я понял и попросил привести конкретные цифры,чтобы проверить своё предположение,которое не решался написать до этого.
Теперь пишу свою формулу:
(np+np^2+np^3+...+np^n)/n и если вынести за скобки и сократить на n получаем ряд:
p+p^2+p^3+...+p^n
предел которого позволяет определить среднее количество повторений подряд некоего события с вероятностью p за n число попыток.Также интересны расчёты по формуле при малых конечных значениях n, а не только при n->inf.
Похоже цифры RHnd подтверждают данную формулу,но наибольшие сомнения у меня вызывает n в знаменателе моей первой формулы.
Как вы думаете,корректно ли делить суммы всех возможных серий повторений на общее число попыток?Лично я не уверен :?

[cassolete]

Я вообще, честно говоря, ни в чём не уверен в этой задачке Завтра , если получится, спрошу у препода или возьму наконец книжку в библиотеке.

[RHnd]

Сообщение от cassolete писал вс, 30 октября 2005 08:44

Благодарю, это именно то, что мне нужно. Насчёт константы я действительно погорячился Вы не могли бы научить меня самому моделировать подобные числа? Потому что мне нужны средние числа попаданий для P от 0.2 до 0.96. Если , конечно, это Вас не затруднит.

Интересно, а как? Я могу дать текст проги. Но она под МatLab, а не под бейсик. Могу алгоритм дать.
А рандомайзеру для таких задач можно доверять любому. Главное, не перепутать нормальное распределение и равномерное.

Сообщение от cassolete писал вс, 30 октября 2005 08:44

Кстати, 2:30 EST - это сколько по-нашему?

Не наю. Я сам в этом очень часто путаюсь.


Я тут так прикинул, похоже, что p/(1-p) действительно искомый ответ. Наверное, если брать предел, то так и получится. А пока можно считать это эмперически полученным результатом и спокойно пользоваться, пока кто-нить не опровергнет. Благо, моделирование подтверждает. Если нужно формальное доказательство, то надо предел считать. :(

I will kill your set
Нету такого члена как (1-p). Берется он отсюда: Вер-ть того, что мы N раз попадем и после этого промажем (нам ведь нужна законченная серия, а не просто N попаданий подряд) равна (1-p)*p^N.
Посмотрел еще раз формулу - что-то странное и на мой результат не очень похожее. У меня общий член прогрессии m*p^m, а у тебя просто p^m.