[AlanD]

Эх блин, давно это было, на втором курсе бы наверное легко бы решил, а сейчас вот понадобилось, но что-то никак ...
Короче неопределнный интегралл от функции (x^2+1)/(x^4+1) по dx.
Если кто сможет решить, без применения справочной информации, типа как табличные интеграллы от x^2/(x^4+1) и 1/(x^4+1), или хотябы подсказать путь решения буду весьма признателен.

[Mariner]

Приветствую!

2 AlanD

Задал ты задачку, сам нифига не помню, но думаю просто решить не получиться.

Maple8 дает такое решение.

> int((x^2+1)/(x^4+1),x);

               2      1/2
       1/2    x  + x 2    + 1         1/2           1/2
  1/8 2    ln(---------------) + 1/2 2    arctan(x 2    + 1)
               2      1/2
              x  - x 2    + 1

                                                      2      1/2
                1/2           1/2             1/2    x  - x 2    + 1
         + 1/2 2    arctan(x 2    - 1) + 1/8 2    ln(---------------)
                                                      2      1/2
                                                     x  + x 2    + 1

> simplify(%);

           /    2      1/2
       1/2 |   x  + x 2    + 1                1/2
  1/8 2    |ln(---------------) + 4 arctan(x 2    + 1)
           |    2      1/2
           \   x  - x 2    + 1

                                      2      1/2     \
                       1/2           x  - x 2    + 1 |
         + 4 arctan(x 2    - 1) + ln(---------------)|
                                      2      1/2     |
                                     x  + x 2    + 1 /

>

[AlanD]

Мда, Mariner - спасибо, только вот этот гад Maple8 как раз справочную инфу насчет интеграллов x^2/(x^4+1) и 1/(x^4+1) и использует, а это прием запрещенный. Печаль.
От меня требуюется решить сие путем либо замены (какие только не делал ... наверное все возможные перебрал), либо по частям (тоже весь мозг себе прожег), или уже, что есть менее предпочтительнее, через комплексные числа, но это уже оценка 3

[Mariner]

Приветствую!

2 AlanD

Сформулируй полностью условия.
Что даже нельзя использовать табличный интеграл как x по dx?

А что решить интеграл с помощью методов ТФКП тянет на трояк? Нехило.

Справочники Бронштейна и Выгодского читал?

[AlanD]

Можно использовать любые табличные интеграллы, в которых X пресутствует степенью не выше 2.
А на счет ТФКП - это тут является стандартным методом на мой взгляд, а в конкурсе требуется оригинальное решение к сожалению.

Такс, а про справочники можно ли поподробнее, есть ли в них примеры решений или только ответы, и ежели есть примеры решений. доступны ли где-нибудь они он-лайн ?

[Mariner]

Приветствую!

2 AlanD

А если х входит в состав тригонометрических функций первой и больше степени?

Насчет справочников.
Это справочники по математике для инжинеров и учащихся ВТУЗов.
Есть общие рекомендации решения, типа интеграл вида бла-бла-бла, пробуйте замену бла-бла и т.п.
Можно найти в интернете, я только что скачал Бронштейна.

ЗЫ. Это два разных справочника с примерно одинаковым содержанием.

[AlanD]

Сообщение от Цитата:

А если х входит в состав тригонометрических функций первой и больше степени?

Первой и второй Опять таки к сожалению ...
А справочник Бронштейна я пожалуй тоже закачаю.

[Mariner]

Приветствую!

2 AlanD

Качай отсюда
[Зарегистрироваться?]

если лучше не найдешь. Там страницы отсканированны разворотами в виде TIF файлов.

[Инвестор]

Друзья, вы щас ругались?

[AlanD]

Сообщение от Цитата:

Друзья, вы щас ругались?

А тебе хулиган в наказание ДЗ - взять неопределенный интегралл от корня от тангенса X по DX Чтобы до выходных было сдано ... Иначе 2 !

[Mariner]

Приветствую!

2 AlanD

Получается?

[_Ant]

спросил у знакгомого, он посоветовал вот так:

$[(x^2+1)/(x^4+1)]dx=-1/2i $[(1-i)/(x^2+i) - (1+i)/(x^2-i)]dx

говорит, дальше просто.

или так не подходит?

[n_zet]

То, что забыли, как интеграл вычисляется еще ничего. Плохо, что забыли, как он пишется.
В этом случае надо представить
(x^2+1)/(x^4+1) как

1/(2*(x^2-SQRT(2)*x+1)) + 1/(2*(x^2+SQRT(2)*x+1))

Ну, а далее уже все элементарно. Окончательный ответ:

SQRT(2)*ATAN(SQRT(2)*x-1)/2 + SQRT(2)*ATAN(SQRT(2)*x+1)/2 +С.

Удачи.

[Инвестор]

Сообщение от AlanD писал вт, 19 июля 2005 17:42

А тебе хулиган в наказание ДЗ - взять неопределенный интегралл от корня от тангенса X по DX Чтобы до выходных было сдано ... Иначе 2 !

Ставь сразу двойку. Я должен был это проходить в 85 году на третьем курсе. И даже проходил. И , что интересно, сдал экзамен. Тока в жизни мне это ни разу не пригодилось и даже не встречалось.

[Mariner]

Приветствую!

2 Инвестор

Сообщение от Инвестор писал ср, 20 июля 2005 02:29

Ставь сразу двойку. Я должен был это проходить в 85 году на третьем курсе. И даже проходил. И , что интересно, сдал экзамен. Тока в жизни мне это ни разу не пригодилось и даже не встречалось.

Даю подсказку...

            1/2         1/2
      tan(x)    cos(x) 2    arccos(cos(x) - sin(x))
  1/2 ---------------------------------------------
                                  1/2
                   (cos(x) sin(x))

                1/2              1/2       1/2
         - 1/2 2    ln(cos(x) + 2    tan(x)    cos(x) + sin(x))

[Grey]

хм... а мне Mathematica нечто другое выдала.

[AlanD]

Все, все решил, ура ура ура ! Всем большое спасибо.
N-Zet в особенности, как раз то что нужно.

[Mariner]

Приветствую!

2 AlanD

Сообщение от AlanD писал ср, 20 июля 2005 13:42

Все, все решил, ура ура ура ! Всем большое спасибо.
N-Zet в особенности, как раз то что нужно.

Решение в студию!

Выражение

1/(2*(x^2-SQRT(2)*x+1)) + 1/(2*(x^2+SQRT(2)*x+1))

Раскрывает только знаменатель x^4+1.

[AlanD]

Сообщение от Цитата:

Решение в студию!

Выражение

1/(2*(x^2-SQRT(2)*x+1)) + 1/(2*(x^2+SQRT(2)*x+1))

Раскрывает только знаменатель x^4+1.

Неправ ты, (x^2+1)/(x^4+1) = 1/(2*(x^2-SQRT(2)*x+1)) + 1/(2*(x^2+SQRT(2)*x+1)). Совершенно четким образом, а дальше заменой в знаменателе получим оба этих арктангенса.

[Mariner]

Приветствую!

2 AlanD

Так чем дело закончилось?
Победил?