[_Ali_]

Предыстория: http://forum.cgm.ru/blackjack/120765-kelli_v_realnoi_zhizni.html
Я, наверное, все-таки скорее тугодум, но если не отпишусь, то эта тема меня не отпустит никогда. Приношу извинения за создание отдельного поста, но хочется перевести разговор в несколько иное русло. Основная мысль – подтвердить, что «разбитый» по частям и «линейный» банк, с одинаковыми рисками, по характеристикам одинаковы. На всякий случай, предупрежу, что выражаюсь, как умею, институтов не заканчивал. Заранее благодарен за конструктивную критику.

На просторах иннета давно натолкнулся :

Kaufman gives us the following formula for calculating the risk of ruin:
risk_of_ruin = ((1 - Edge)/(1 + Edge)) ^ Capital_Units
Edge is the probability of a win.

Заменим «1» на СКО, Edge – это МО игры и Capital_Units на Банк/СКО. Получим формулу TotalROR, приводимую однажды здесь (точно не помню первоисточник, но формула «удобоваримая» для понимания следующей за ней).

[1] Риск [Общий] = ((СКО-МО)/(СКО+МО))^(Банк/СКО)
или проще Р[Oбщий] = (q/p)^n

Условия задачи:

Одна игра, два игрока с одинаковыми банками по 100 000$. Игра продолжается до удвоения капитала, то есть, общий Банкролл у каждого в итоге должен составить 200 000$. Либо его (Банка) проигрыша. Сравнить характеристики "линейного" и "разбитого" по частям Банков.

Игра с характеристиками:
МО = 0.01
Д = 5
СКО = sqrt(Д)
Банк = 100 000$ (заданный изначально капитал)

Рассмотрим игру Игрока1, который дробит по частям свой банк. Возможно, я переборщил или не так "раздробил", но я отталкиваюсь от:

Вовсе не надо ставить 95 вместо 100, удивляя при это персонал и тормозя игру, но всю жизнь играть по неизменной….

…, и:

…имеется ввиду пересчет оптимальных ставок после каждого значительного колебания банка. Я сказал ЗНАЧИТЕЛЬНОГО потому, что понятно, что при НЕЗНАЧИТЕЛЬНЫХ колебаний нет смысла пересчитывать оптимальные ставки.

Итак. Игрок_1 с Банкроллом в 100 000$ вступает в игру, предварительно раздробив свой банк по частям: 50 000$, 25 000$ и 25 000 с начальным беттингом Kelly_f = 1. Ставки соответственно:
Opt_Kelly_Bet = Bank$*f*(EV/D) = 200$
При стартовом беттинге получаем Риск [Общий] = 13,53%. Но Игрок_1, в случае проигрыша 50% Банка (50 000$ или 250 анте) снижает ставки в 2раза, те начинает играть по 100$. Далее, если он проигрывает еще 50% от оставшегося банка (25 000$ или 250 анте) то продолжает игру уже по 50$. Для каждого банка есть «контрольная точка». Изменив (уменьшив) беттинг в 2раза мы увеличим его обратно только в случае достижения контрольной точки (например, играем по 100$ и увеличиваем ставку до 200$ только тогда, когда общий банк не достигнет начального состояния, те 100 000$; если играем по 50$, то играем по 100$ только когда на руках будет 50 000$). Итого у нас получается «раздробленный» Банк следующего вида:
50 000$ по 200$ (250 ante); 25000$ по 100$ (250 ante); 25000$ по 50$ (500 ante). Итого 1000 анте:
Риск [Общий] (считаем в юнитах) = ((2,23–0,01)/(2,23+0,01))^(1000/2,23) = 0,018315
Можно пошагово для каждого банка посчитать в $. Далее, если можно, я дам свои имена частям банка (для удобства). Самый первый банк в 50 000$ (по 200$) – это наш «Авангард», как бы атакующий. Это банк, который будет нам зарабатывать. Оставшиеся 2 части общего Банкролла по 25 000$ каждая (по 100$ и 50$) – это «Тыл». Они будут выступать в роли амортизации, защиты общего Банка. Проще: увеличить банк можно только играя «авангардом»,тыловые нужны только амортизировать риски и вернуть в изначальное состояние «авангард». Так как игра этими тремя частями банка – есть события зависимые, то риски каждого перемножаем:
Риск [Общий] = Риск [Банк_авангард] * Риск [Банк_тыл1] * Риск [Банк_тыл2] =0,3679…*0,3679…*0,1353… = 0,018315
Знакомая цифра. При подобном разбиении банк из Келли_1 с его рисками (0,1353) превращается в банк с рисками Келли_1/2 (0,01831). Это вполне логично, так как, разбив общий Банкролл на 3 части, он из 500 анте превратился в банк из 1000 анте.
________________________________________

[2] Риск [Достижение "b", прежде "a"] =1 – [ (1-(q/p)^(Y/SD))/(1-(q/p)^((Y+X)/SD))]
Используемая Bryce Carlson (Blackjack for Blood)
, где q=СКО-МО, p=СКО+МО, Y=Банк, Х=Ожидаемый Результат, SD=sqrt(Д)=СКО.
Так как, по условиям задачи, мы играем до удвоения ОБЩЕГО банка, то считаем по формуле [2] и до удвоения считаем только «авангард». В соответствии со ставками (200$) переведу в денежное отношение:
q$/p$ = (447.21-2)/(447.21+2) = 0.9911
Y$/SD$ = 50000/447.21 = 111.8
(Y$+X$)/SD$ = (50 000+100 000)/447.21 = 335.41
[a] (q/p)^(Y/SD) = 0.9911^111.8 = 0.3678
(q/p)^((Y+X)/SD) = 0.9911^335.41 = 0.04979
Вероятность достигнуть в игре отметки заданного банка в 200 000$ или проиграть его:
Вероятность успеха [“b”, прежде чем “a”] = ((1-(q/p)^(Y/SD))/(1-(q/p)^((Y+X)/SD)) = (1 – [a])/(1 – ) = ,63212/,9521 = 0,6652428
Риск [“b”, прежде чем “a”] = 1 - Вероятность успеха [“b”, прежде чем “a”]
Достижение удвоения, прежде поражения (проиграть Авангард, прежде чем удвоить Общий Банк): Игрок1 = 66,5248.%
Цифра дикая. Все потому, что риск ориентированного результата у Игрока_1 посчитан не до конца. В случае проигрыша Игроком_2 его банка – игра остановится, но у Игрока_1 помимо «Авангарда» существуют Тыловые Банки для его защиты и амортизации риска для банкролла в целом. В общем, напоминает реанимацию. Поэтому необходимо добавить к расчету риски тыловых банков. Итоговый результат для Игрока_1 будет:
Итоговый Риск [“b” прежде “a” Игрок_1] = Риск [“b” прежде “a”_Авангард] * Риск [Общий_Тыл_1] * Риск [Общий_Тыл_2] = ,3348… * ,3679… * ,1353… = 1,66666%
Вероятность успеха [“b” прежде “a” Игрок_1] = 98,33334%

Почему у «авангарда» считался риск ориентированного результата – это понятно, достигли результата (удвоения Банкролла) и игра остановилась. Но с тыловыми банками я посчитал нужным брать цифры Риск [Общий], так как достигнув ориентированных результатов мы не останавливаем игру и, более того, можем неоднократно вернуться к ним обратно. В принципе дистанция подтверждает, тк при устремлении заданных результатов в бесконечность итоговые вероятности Игрока_1 и Игрока_2 выравниваются, как и должно быть.

Далее:

Short Term RISK OF RUIN formula (From D. Schlesinger's BLACKJACK ATTACK)

risk = N((B-ev)/sd) + e^((2*ev*B)/var) * N((B+ev)/sd)

В «переводе» пропишется примерно так (мне удобнее считать в $):
[3 ] Риск [Время] = N((Банк$-МО$*n)/(СКО$*(n^.5)))+exp(-2*МО$*Банк$/СКО$^2)*N((-Банк$+МО$*n)/(СКО*n^.5)))
, где N – нормальное распределение (в экселе функция ‘нормстрасп’ или см.табличные функции нормального распределения); exp - тоже самое, что число ‘e’^…
Возьмем всеми любимую дистанцию (n) Numberoftests = D/EV^2. Для каждого банка у Игрока_1 («Авангард», «Тыл») считаем отдельно и затем перемножаем вероятности, в итоге получим:
Риск [Время_Общий] = Риск [Время_Авангард]* Риск [Время_Тыл1]* Риск [Время_Тыл2] = 0,3211820 * 0,3211820 * 0,0904178 = 0,93273%
___________________________________
Теперь рассмотрим «плоскую» игру, Игрока_2. Банк тот же (100 000$) и Общие Риски берем те же, как и у Игрока_1, но банк не делим по частям, а играем плоской (всегда одинаковой) ставкой до удвоения капитала, либо поражения (проигрыша) Банкролла, так называемый «линейный риск». Здесь расчеты все также как и выше, только одним действием:
Bank 100 000$
Kelly = 1/2
Bank Kelly unit = D/EV/f = 1000
Ante = Bank$/Bank(unit) = 100$ или:
Opt_Kelly_Bet = Bank$*f*(EV/D) = 100$
Риск [Общий] = 1,8316%
Играем до удвоения капитала:
Риск [“b”, прежде чем “a”] = 1,7987%
Time Ror:
Риск [Время] = 0,42558%

Сравнивая итоговые результаты Игрока_1 и Игрока_2 (по [1],[2],[3]) видны незначительные различия в десятые доли процентов (пусть будут «проценты», так удобоваримее всем) которые при незначительном увеличении дистанции или размера win_goal выравниваются, что я и хотел доказать.


Удачи.

[Gramazeka]

Ali, это можно проверить при помощи BJRM. Если что пишите в ЛС. А вообще- великолепный пост в этом разделе, за последнее время.
p.s.Кстати у Вас не сохранился пост с bjmath.com о подходящих системах счета для разных позиций карт игрока против карты диллера?

[Gramazeka]

Ув. Ali, если можно, переведите ваш пост на english, есть кое какие мысли.

[_Ali_]

Мне нравится заглядывать под капот, а не только смотреть на кузов.
Поста у меня нет. Ресурс работает, возможно тема на старом месте.
По поводу перевода: извини, мой английский отвратителен.

Удачи.

[Gramazeka]

Если не секрет- какую программу использовали для расчетов?

[_Ali_]

Сообщение от Gramazeka

Если не секрет- какую программу использовали для расчетов?

Ручка, бумага, калькулятор (эксель) и материалы по рискам (в основном BjMath.com). Собственно, отписался бы еще пару месяцев назад, но хотел сам проанализировать буржуйские расчеты, так как ожидал вопросов или критики "подхода". Но похоже тема не особо интересна оказалась. Надо было вместо Мухосранска хотя бы Мск написать, а то скажут: "пишут тут всякие..."

Удачи.

[Gramazeka]

А что у вас в профиле нет вашего мэйла?

[Gramazeka]

ROR question
Так называется аналогичная недавняя тема на advantageplayer.com

[_Ali_]

Мой английский не позволяет точно понять прбл. Но в общем и целом вроде бы как у Arruba возникло разногласие, относительно: почему мы удвоим свой банк с вероятностью b=0,666666 или проиграем его половину a = 1-b, когда, по утверждению Дона, 50% банкролла по полному Келли потерят 50% игроков. Да и еще в догонку: если после удвоения беттинг не пересматривается и остается прежним, то Риск2 = Риск1^0.5 = 0,1353^0.5=0.3679. Если я правильно понял перевод, то полная каша у парня, не завидую Вроде как путаница относительно "постоянного" изменения ставок в ту и другую сторону и разницы: вероятность проиграть 50% банкролла вообще (в бесконечности) и достигнуть удвоения по Келли (насчет 0,1353^0.5 не понял). Поправьте, если не так.

[Gramazeka]

Выкладываю Sileo

[Gramazeka]

Вот ещё Ethier и Tavare

[Gramazeka]

Вот ещё Gary Gottleib

[Gramazeka]

Kelly

[Gramazeka]

Вот ещё William Chin и Marc Ingenoso